수학/해석학
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2. 순서체에 대하여, 연속체 가설수학/해석학 2023. 1. 10. 21:21
지난 게시물에서 체(field)가 무엇인지 정의하였다. 간단히 말하면 체 $F$는 (나누기는 0이 아닌) 가감승제에 대해 닫혀 있고, 교환 및 결합법칙이 성립하며, 0과 1을 가지고 있는 집합이라고 할 수 있겠다. 이 게시물에서는 체 중 두 원소를 잘 비교할 수 있는 순서체(ordered field)라는 것을 정의하고자 한다. Def. 체 $F$가 순서체(ordered field)라는 것은, 모든 $x,y,z \in F$에 대하여, 관계(relation) $\leq$가 존재하여, 다음 여섯 가지 성질 (1) $x \leq x$ (2) $x \leq y$이고 $y \leq x$ $\Lrh$ $x=y$ (3) $x \leq y$이고 $y \leq z$이면 $x \leq z$이다. (4) $x \leq y$나..
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1. 군, 환, 체수학/해석학 2023. 1. 8. 01:09
집합 $X$를 단지 (카테고리적으로) 집합으로써 고려한다는 것은, 집합의 원소들 사이에 어떠한 관계도 없음을 함의한다. 집합의 원소들 사이에 어떠한 관계가 부여되었을 때, 그 집합을 공간(space)라고 부른다. 집합들 사이에 더 많은 관계가 부여될수록, 그 집합은 더욱 복잡한 공간이 된다. (어떤 공간을, 원소 사이의 관계를 없애 주면서 집합으로 보내 주는 functor를 forgetful functor라고 부른다. 카테고리에 익숙하지 않은 독자는 이 문단을 넘겨도 된다.) 개론 수준 해석학에서 가장 중요하게 생각되는 개체 중 하나는 실수(real number)이며, 그 이유는 '실수가 완비 순서체 중 가장 작은 집합'임에 있다. 이 게시물에서는 체(field)를 대수적으로 엄밀하게 정의하고, 그것이 ..
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0. 해석학에 대하여수학/해석학 2023. 1. 7. 13:13
('해석학' 게시물들은 집합론에 대한 기본 지식이 있어야 읽기 수월할 수 있음을 알려드립니다.) 고등 수학에서, 극한을 '무한히 다가갈 때의 값'으로 정의하였다. 그러나 혹자는 '어느 정도로 가깝게 다가가야 하는가'에 대한 질문을 던질 수 있을 것이다. 해석학은 그러한 극한에 대한 엄밀한 정의를 배우는 과목이다. 극한값이 잘 정의되려면 가깝게 다가가는 것에 닫혀 있는 집합을 생각해야 할 것이다. 우리는 그러한 집합 중 크기가 가장 작은 집합을 '실수'(real number) $\rr$이라고 정의할 것이다. 함수의 연속과 미분, 적분은 모두 극한으로 정의되므로, 미적분과 관련된 정리들을 극한의 엄밀한 정의로 다시 써 보고 증명하는 절차를 밟을 것이다. 또 구분구적법을 좀더 일반화한 방법인 리만적분(Riem..