운수 좋은 날

전공 수학을 공부하면서 배운 것들을 간단히 풀어서 설명하고 기록하고자 합니다. 궁금한 점이 있으면 댓글 남겨주세요.

흔히 수학의 어떤 과목을 공부한다는 것은, 그 과목의 주가 되는 객체(object)와 객체들 간의 사상(morphism)을 공부하는 것이다. 가령, 미적분학은 그 객체는 유클리드 공간 $\rr^n$이 되고, 사상은 미분 또는 적분가능함수 $f:\rr^n \rh \rr^m$이 된다. 해석학은 객체가 거리공간(또는 책에 따라서는 유클리드 공간)이 되고, 사상은 연속함수 또는 미분 및 적분가능함수가 된다. 이 때 우리가 주목하는 사상은 아무 사상이 아니라, 충분히 좋은 사상이 되어 공간의 성질을 잘 보존하여야 한다. 가령 평균값 정리가 말해 주는 것은 연속함수 $f:(a,b) \rh \rr$은 $(a,b)$를 $\rr$의 구간(interval)로 보낸다는 사실이다. 이를 해석학에서는 $X$가 연결집합(conn..

먼저 위상수학에서의 부분공간은 선형대수학에서의 부분공간과는 다른(하지만 비슷한) 말이므로 글을 읽을 때 주의하기 바란다. 선형대수학에서의 부분공간은 (1)어떤 벡터공간 $V$의 부분집합이고, (2)그 부분집합 자체가 $V$의 벡터공간의 구조를 갖고 있는 공간으로 정의하였다. 위상수학에서의 부분공간도 비슷하게 정의하고자 한다. 즉 (1)어떤 위상공간의 부분집합이고, (2)그 부분집합 자체가 원래 위상공간에서 유도된(induced) 위상을 갖는 공간을 부분공간으로 정의하려고 한다. 껄끄러운 점은, (2)에서 어떻게 위상공간의 부분집합에 원래 위상공간으로부터 내려 오는 자연스러운 위상을 줄 수 있겠느냐는 점이다. 위상공간 $(X,\tt)$와 부분집합 $Y \subset X$를 고려하자. $Y$에 어떻게 $X$..

지난 게시물에서 기저와 차원에 대하여 정의하였다. 이번 게시물에서는 기저와 차원의 더 많은 예시들을 보도록 하자. Ex. 체 $F$는 그 자체가 $F$-벡터공간이다. 기저는 (잡기 나름이지만) $\{1\}$이고, 차원은 1이다. Ex. 벡터 공간들 $\{V_i\}_{i=1}^n$에 대하여, $V_i$를 $m(i)$-차원 벡터공간($m(i) \in \nn$)이라고 하고, $V_i$의 기저를 $\{v_j^i\}_{j=1}$라고 하자. 그렇다면 벡터공간의 곱 $\Pi_{i=1}^n V_i$의 기저는 $$ \bb=\{(0 , \ld, 0, v_j^i\,_{j-\text{th}} ,0 , \ld ,0)\,|\, 1 \leq i \leq n,\, 1\leq j \leq m(i)\} $$ 이고, 차원은 $m(1) \..

이 절에서도 체는 별 말이 없으면 $F=\rr$ 또는 $\mathbb{C}$로 가정한다. Def. $1 \leq i \leq n$에 대하여, $c_i \in F$이고 $v_i \in V$이면, $c_iv_i \in V$이고, $c_1v_1+c_2v_2 \in V$이며, 결합성에 의해 $c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3 \in V$이고, 귀납적으로 $\sum_{i=1}^n c_iv_i \in V$이다. 이 때 $\sum_i^n c_i v_i$를 $\{v_i\}_{i=1}^n$의 선형결합(linear combination)이라고 한다. 이상의 논의에 따르면, 벡터공간은 임의의 원소들의 선형결합에 닫혀 있다. Def. 벡터공간 $V$의 부분집합 $S \subset V$에 대하여, 집합 $S$의 span을 ..

Notation. 거리공간 $(X,d)$에 대하여, 중심이 $x$이고 반지름이 $r$인 열린 공(open ball)을 $$B_r (x)=\{y \in X\,|\, d(x,y)0$에 대하여 $\delta>0$이 존재하여 $f(B_\delta (x)) \subset B_{\ve}(f(x))$를 만족시키면, 함수 $f:X \rh Y$가 $x$에서 연속(continuous)이라고 말한다. 즉, $x$의 충분히 작은 열린 공을 $f(x)$의 열린 공에 집어넣을 수 있으면 $f$를 $x$에서 연속이라고 말한다. 또 $f$가 모든 $x \in X$에서 연속이면, $f$를 연속함수(continuous function)라고 말한다. 우리는 거리공간에서 정의한 연속함수를 일반적인 위상공간으로까지 확장하고자 한다. 이 때 ..