5. 선형사상에 대하여

흔히 수학의 어떤 과목을 공부한다는 것은, 그 과목의 주가 되는 객체(object)와 객체들 간의 사상(morphism)을 공부하는 것이다. 가령, 미적분학은 그 객체는 유클리드 공간 $\rr^n$이 되고, 사상은 미분 또는 적분가능함수 $f:\rr^n \rh \rr^m$이 된다. 해석학은 객체가 거리공간(또는 책에 따라서는 유클리드 공간)이 되고, 사상은 연속함수 또는 미분 및 적분가능함수가 된다. 이 때 우리가 주목하는 사상은 아무 사상이 아니라, 충분히 좋은 사상이 되어 공간의 성질을 잘 보존하여야 한다. 가령 평균값 정리가 말해 주는 것은 연속함수 $f:(a,b) \rh \rr$은 $(a,b)$를 $\rr$의 구간(interval)로 보낸다는 사실이다. 이를 해석학에서는 $X$가 연결집합(connected)이면, $f(X)$도 연결집합이라는 사실로 일반화한다. 선형대수학에서 우리가 주목하고 싶은 사상은 선형 사상(또는 선형 변환; linear map or linear transformation)이며, '선형성'을 보존하는 벡터 공간 사이의 사상을 말한다.

 

(다른 분야의 객체와 사상에 대해 조금 더 적어 본다. 복소해석학에서는 (주로) 객체는 복소평면 $\cc$가 되고, 사상은 정칙함수(holomorphic function)이다. 위상수학에서는 객체는 위상공간(topological space)가 되고, 사상은 연속함수(위상수학적인 의미에서)가 된다. 대수학에서 객체는 군,환,체(group,ring,field)가 되고, 사상은 각각에 대응하는 준동형 사상(homomorphism)이 된다.) 

 

Def. $V,W$를 (유한 차원) 벡터 공간이라고 하자. 함수 $f:V \rh W$가 $c \in F$, $v_1,v_2 \in V$에 대하여,

(1) $f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$,

(2) $f(cv_1)=cf(v_1)$

을 만족하면, $f$를 선형 사상 또는 선형 변환(linear map or linear transformation)이라고 말한다. 이 때 $f$를 선형(linear)이라고 말한다.

 

Rmk. $f$가 선형사상이라는 의미는 '덧셈을 하고 $f$를 취한 것'과 '$f$를 취하고 덧셈을 한 것'의 결과가 같고, '상수곱을 하고 $f$를 취한 것'과 '$f$를 취하고 상수곱을 한 것'의 결과가 같다는 말이 된다. 즉 다음 diagram

 

$$\require{AMScd} \begin{CD} v_1,v_2 @>{+_V}>> v_1+v_2 \\ @VVfV @VVfV \\ f(v_1),f(v_2) @>{+_W}>> f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2) \end{CD}$$

 

$$\require{AMScd} \begin{CD} v @>{c \cd}>> cv \\ @VVfV @VVfV \\ f(v) @>{c\cd}>> f(cv)=cf(v) \end{CD}$$

이 commute한다는 뜻이다. (이 말은 각각 $v_1,v_2$와 $v$가 어느 화살표를 따라 내려가던지 결과가 똑같아야 한다는 소리이다.)

아무튼 이러한 관점에서 선형 사상이라는 것은 '선형성', 즉 덧셈과 상수곱을 그대로 옮겨 주는 벡터 공간 사이의 함수라고 생각할 수 있다. 

 

Ex. $f:\rr^2 \rh \rr^2$를

$$f(a,b)=(3a+2b,2a+3b)$$

로 정의하자. 그러면 $(a,b),(c,d) \in \rr^2, c \in \rr$에 대하여

$$f(a,b)+f(c,d)=(3a+2b,2a+3b)+(3c+2d,2c+3d)=(3a+3c+2b+2d,2a+2c+3b+3d)=f(a+c,b+d)=f((a,b)+(c,d))$$

이고,

$$cf(a,b)=c(3a+2b,2a+3b)=(c(3a+2b),c(2a+3b))=f(c(a,b))$$

이므로 $f$는 선형사상이다.

 

Ex. $A \in \mm_n(F)$에 대하여, $A=(a_{ij})$($A$의 $(i,j)$성분을 $a_{ij}$라고 하자는 뜻이다.)라고 하자. 그러면 전치사상(transpose map)

$$t:\mm_n(F) \rh \mm_n(F),\qu t(A)=A^t\qu (A^t:\text{the transpose of A.}) $$

는 선형 사상이다. $A,B \in \mm_n(F),\, c \in F$에 대하여

$t(A+B)=t((a_{ij}+b_{ij}))=(a_{ji}+b_{ji}),\qu ct(A)=c(a_{ij})=(cA_{ij})=t(cA)$

이기 때문이다.

 

(이하의 예시들은 각각 선형 사상임을 확인해 보기 바란다.)

Ex. 차수가 $n$ 이하인 실수 계수의 다항식들의 집합을 $\pp_n[\rr]$이라 하자. 그러면

$$D:\pp_n[\rr] \rh \pp_{n-1}[\rr],\qu D(f(x))=f'(x)$$

는 선형 사상이다.

 

Ex.  $T:\rr^2 \rh \rr^2$를 $T(a,b)=(a,-b)$로 정의하면, $T$는 선형 사상이다. 이러한 $T$를 $x$축 대칭(reflection along $x$-axis)이라고 한다.

Ex.  $\theta \in [0,2\pi]$에 대하여, $T:\rr^2 \rh \rr^2$를 $T(a,b)=(a\cos \theta-b\sin \theta,b\cos \theta+a\sin \theta)$로 정의하면, $T$는 선형 사상이다. 이러한 $T$를 $\theta$에 의한 회전변환(rotation by $\theta$)이라고 한다.

Rmk. 우리는 후에 선형 사상 $f:\rr^2 \rh \rr^2$는 항상 회전변환과 대칭의 합성으로 나타내어진다는 것을 배울 것이다.

 

Def. 선형사상 $f:V \rh W$가 있을 때, 어떤 $v_1,v_2 \in V$에 대하여 $f(v_1)=f(v_2)=0$이라고 하자(꼭 $v=0$일 필요는 없다.). 그러면 $f$의 $f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)=0+0=0$이고, $f(cv_1)=cf(v_1)=c\cd 0=0$이다. 즉

$$N(f)=\{v \in V\,|\, f(v)=0\}=f\inv(0)$$

이라고 정의하면 $N(f)$는 $V$의 부분공간이 된다. 이러한 공간 $N(f)$를 $f$의 영공간 또는 핵(null space or kernel)이라고 말한다. $N(f)$의 차원을 퇴화차수(nullity; 번역이 이게 최선인지는 모르겠는데, 이렇게들 쓰는 것 같아서...)라고 한다.

또 $f$의 치역(image or range)을 $R(f)=\{w \in W\,|\, f(v)=w \text{ for some }v \in V\}$라고 하면, $R(f)$는 $W$의 부분공간이 된다. $R(f)$의 차원을 $f$의 계수 또는 랭크(rank; 다항식의 계수와 의미가 다름에 주의하자.) 라고 말한다.

 

Q. 위의 정의에서 $R(f)$가 $W$의 부분공간이 됨을 보이시오.

 

Ex. $T:\rr^2 \rh \rr^2$를 $T(a,b)=(a+b,0)$으로 정의하면 $T$는 선형 사상이다.(확인해 보자.) 이 때

$$T(x)=T(x_1,x_2)=0 \,\Lrh\, (x_1+x_2,0)=(0,0) \,\Lrh\, x_1=-x_2$$

이므로 $N(T)=\{(x,-x)\,|\, x\in \rr\}$이고, 치역은 $R(T)= \{(y,0)\,|\, y\in \rr\}$이다. 각각 퇴화차수와 계수는 $1,1$이다.

 

이번 게시물에서는 선형사상의 정의와 다양한 예시들을 보았다면, 다음 게시물에서는 선형사상에 대한 더 다양한 정리들을 확인하기로 하자.