4. 기저에 대하여(2)

지난 게시물에서 기저와 차원에 대하여 정의하였다. 이번 게시물에서는 기저와 차원의 더 많은 예시들을 보도록 하자.

 

Ex. 체 $F$는 그 자체가 $F$-벡터공간이다. 기저는 (잡기 나름이지만) $\{1\}$이고, 차원은 1이다.

 

Ex. 벡터 공간들 $\{V_i\}_{i=1}^n$에 대하여, $V_i$를 $m(i)$-차원 벡터공간($m(i) \in \nn$)이라고 하고, $V_i$의 기저를 $\{v_j^i\}_{j=1}$라고 하자. 그렇다면 벡터공간의 곱 $\Pi_{i=1}^n V_i$의 기저는

$$ \bb=\{(0 , \ld, 0, v_j^i\,_{j-\text{th}} ,0 , \ld ,0)\,|\, 1 \leq i \leq n,\, 1\leq j \leq m(i)\} $$

이고, 차원은 $m(1) \times m(2) \times \ld \times m(n)$이다. 예를 들어, $\rr$-벡터공간으로써의 $\rr$의 기저는 $\{1\}$이므로, $\rr^2$의 기저는 $\{(1,0),(0,1)\}$이다.

 

Ex. $n\times n$ 행렬공간 $\mm_n$에 대하여, 행렬 $E_{ij}$를 $(i,j)$성분은 1이고, 나머지는 $0$인 행렬로 정의하자.

(예를 들어, 2차원 행렬 $E_{12}=\begin{pmatrix} 0& 1 \\ 0& 0\end{pmatrix}$이다.)

그러면 집합 $\bb=\{E_{ij} \in \mm_n(\rr)\,|\, 1 \leq i \leq n,\, 1\leq j \leq n\}$은 $\mm_n$의 기저가 된다. 이 때 집합 $\bb$를 $\mm_n$의 표준기저(standard basis)라고 한다. 따라서 $\mm_n$은 $n^2$차원 벡터공간이 된다.

 

Ex. $n$차원 대칭행렬들의 집합 $\sym_n=\{A \in \mm_n\,|\, A^t=A\}$의 기저는 

$$\{E_{ij}+E_{ji}\,|\, 1 \leq i \neq j \leq n\} \cup \{E_{ii}\,|\, 1 \leq i \leq n\}$$이다. 따라서 차원은 $\frac{n(n+1)}{2}$이다. 예를 들어, $\sym_2$의 기저는 $\{E_{11}, E_{12}+E_{21}, E_{22}\}$이고, 차원은 3이다.

 

Q. $n$차원 교대행렬들의 집합 $\alt_n=\{A \in \mm_n\,|\, A^t=-A\}$의 기저와 차원을 구하시오.

 

Rmk. (필자가 알고 있는) 차원이 기저에 무관하게 잘 정의된다는 명제는 크게 (1) replacement theorem, (2) 선형사상의 rank 두 가지 방법으로 증명할 수 있다. 우리는 두 번째 방법을 택하기로 하고, 추후에 선형 사상에 대해 배운 후 증명하기로 한다.

 

Rmk. 선형대수학 과목에서 우리는 유한 차원 벡터 공간(finite dimensional vector space), 즉 기저의 원소의 개수가 유한한 경우만을 다룰 것이다. 무한 차원 벡터 공간은 해석학의 여러 가지 함수 공간에서 찾아볼 수 있다(함수공간의 기저를 푸리에 계수라고 말하고, 이 기저로 나타낸 선형결합을 푸리에 급수라고 말한다.). 앞으로 별 말이 없으면 모든 벡터 공간은 유한 차원이다.

 

우리는 어떤 벡터공간 $V$의 기저가 유일하지 않음을 알고 있다. 그렇다면 과연 기저를 적절히 내 입맛대로(?) 잡을 수 있을까? 다음의 기저 확장 정리(basis extension theorem)은 일차독립인 집합을 적절히 늘려서 기저를 만들 수 있다는 것을 알려 준다. 예를 들어, $\rr^{3}$의 부분집합 $S=\{(1,1,0), (0,1,1)\}$은 일차독립이고, $\dim \rr^{3}=3$이다. $S$에 원소 $(0,1,0)$을 넣으면 $S \cup (0,1,0)$은 $\rr^3$의 기저가 된다.

 

Thm. 기저 확장 정리(basis extension theorem). 임의의 벡터공간 $V$의 일차독립인 부분집합 $S \subset V$에 대하여, $V$의 기저 $\bb$가 존재하여 $S \subset \bb$이다. 즉 $S$에 적절한 원소들을 추가하여 $V$의 기저 $\bb$를 만들 수 있다.

 

독자들은 아래의 증명을 꼭 읽고 이해하기 바란다. 대략적인 증명은, $\sp (S\cup \{v_1,\ld\})=V$가 될 때까지 $S$에 적절한 원소들을 계속 추가하는 것이다.

 

Pf. 증명은 다소 constructive(건설적 ?)하다. $\sp S \subset V$일 것이다. $\sp S = V$라면, 정의상 $S$는 기저가 되므로 증명이 끝난다. 만약 $\sp S \neq V$라면, 적절한 $v \in (V-\sp S)$를 뽑아 $S_1=S \cup {v}$를 만들 수 있다. 이 때 전 게시글의 보조정리에 의해($S$가 일차독립 $\Lrh$ 모든 $1\leq i\leq n$에 대하여, $\sp (S-\{v_i\}) \neq \sp S$) $S_1$ 역시 일차독립이다.  만약 $\sp S_1 = V$이면, $S_1$이 $V$의 기저이다. 만약 $\sp S_1 \neq V$이면, 또 $v' \in (V-\sp S_1)$을 뽑아 일차독립인 부분집합 $S_2=S_1\cup \{v'\}$이다. 이런 식으로 $\sp S_n=V$가 될 때까지 계속 $S_n$에 원소를 더하여 나가면 된다. $V$가 유한 차원이므로, $S_n$은 언젠가 $\sp S_n=V$를 만족해야만 한다. ∎

 

이 정리는 앞으로 선형대수학 이론을 전개해 나가면서 많은 부분에 등장할 것이다. 꼭 정리와 증명을 기억하도록 하자.

 

Cor. $W \leq V$일 때, $W$의 기저를 $\bb$라 하자. 그러면 $\bb$를 포함하는 $V$의 기저 $\bb'$이 존재한다.

 

Rmk. 벡터공간 $V$에 대하여, 기저 $\bb$를 '일차독립인 가득 찬 $V$의 부분집합(maximal linearly independent set)'으로 이해하여야 한다. 즉 $\bb$는 어떤 $V$의 원소 하나만 더 넣어도 일차종속이 되는(터지기 직전인?) 상태의 $V$의 부분집합으로 볼 수 있다는 소리이다.

 

Cor. $W \leq V$이고 $\dim W=\dim V$이면, $W=V$이다. 우리는 이를 차원 논의(dimension argument)라고도 한다.

 

Pf. $\dim V=\dim W=n$이라고 두고, $W$의 기저 $\bb$를 잡자. 그러면 $\bb$는 $V$의 일차독립인 부분집합이다. 차원 확장 정리에 의해 $\bb$를 포함하는 $V$의 기저 $\bb'$이 존재한다. 만약 $|\bb'|\geq n+1$이면 $\dim V \geq n+1$이므로 모순이다. 따라서 $|\bb'|=n$이고 $|\bb|=n$, $\bb \subset \bb'$이므로 $\bb=\bb'$이다. 즉 $\bb$는 $W$와 $V$의 기저이므로 $\sp \bb=V=W$이다. ∎

 

Rmk. 우리는 위와 같은 차원 논의를 '어떤 부분공간이 전체 벡터공간이 됨을 보일 때', '부분공간의 차원이 전체 벡터공간의 차원과 같음을 보임으로써' 증명할 때 종종 사용할 것이다.

 

Q. 벡터공간 $V$에 대하여, $S \subset V$이고 $\dim V=|S|$일 때, 다음 세 문장은 동치임을 증명하시오.

(1) $S$는 $V$의 기저이다.

(2) $S$는 일차독립이다.

(3) $\sp S=V$이다.

 

Reference.

 

1. Friedberg, Stephen H., Arnold J. Insel, and Lawrence E. Spence. Linear algebra. Pearson Higher Ed, 2003.

2. 이인석, 학부 대수학 강의 1: 선형대수와 군, 서울대학교출판문화원.