3. 기저에 대하여

이 절에서도 체는 별 말이 없으면 $F=\rr$ 또는 $\mathbb{C}$로 가정한다.

 

Def. $1 \leq i \leq n$에 대하여, $c_i \in F$이고 $v_i \in V$이면, $c_iv_i \in V$이고, $c_1v_1+c_2v_2 \in V$이며, 결합성에 의해 $c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3 \in V$이고, 귀납적으로 $\sum_{i=1}^n c_iv_i \in V$이다. 이 때 $\sum_i^n c_i v_i$를 $\{v_i\}_{i=1}^n$의 선형결합(linear combination)이라고 한다. 이상의 논의에 따르면, 벡터공간은 임의의 원소들의 선형결합에 닫혀 있다.

 

Def. 벡터공간 $V$의 부분집합 $S \subset V$에 대하여, 집합 $S$의 span을 

$$\sp S=\{\sum_{i=1}^n c_iv_i\,|\, c_i \in F,\, v_i \in V\}$$

로 정의한다. 즉 $S$의 원소들의 선형결합으로 이루어진 집합을 말한다. 이 때 $S$가 $\sp S$를 생성한다는 의미로 볼 수 있으므로, $S$를 $\sp S$의 생성집합(generating set)이라고 말하기도 한다.

 

Ex. 체 $F=\rr$과 $\rr^3$의 부분집합 $S=\{(1,0),\,(0,1)\}$에 대하여, 

$$\sp S=\{c_1(1,0)+c_2(0,1)\,|\, c_1,c_2 \in \rr\}=\{(c_1,c_2)\,|\, c_1,c_2 \in \rr\}$$

이다.

 

$S \subset V$에 대하여, 벡터공간은 선형 결합에 대해 닫혀 있으므로, $\sp S \subset V$이다. 또 $\sp S$는 벡터공간의 여덟 가지 정의들을 만족한다. 따라서 $\sp S \leq V$, 즉 $\sp S$는 $V$의 부분공간이다.

우리는 $V$의 최소한의 생성집합 $S=\{v_1,\ld,v_n\}$를 찾고 싶어한다. 즉, (1) $\sp S=V$이고, (2) 모든 $1\leq i \leq n$에 대하여 $\sp (S-\{v_i\}) \neq V$가 되는 $S$를 찾고 싶은 것이다. 다시 말해, 선형결합으로 $V$를 충분히 만들어 낼 수 있으면서 하나라도 빠지면 $V$를 못 만드는 $S \subset V$를 원하는 것이다. 그리고 이러한 $S$를 $V$의 기저(basis)라고 말할 것이다.

우리는 (1)에 관한 이야기는 앞에서 했으므로, (2)에 해당하는 조건이 무엇일지 논해 보도록 하겠다.

 

Def. $S=\{v_i\}_{i=1}^n \subset V$에 대하여, $S$가 일차종속(linearly dependent)라는 것은, $\{c_i\} \subset F$가 존재하여

(1) 어떤 $1\leq i\leq n$에 대하여 $c_i \neq 0$,

(2) $\sum_{i=1}^n c_iv_i =0$

을 만족함을 의미한다. 즉 선형결합이 영벡터가 되게 하면서 모든 $c_i$는 0이 아닌 $\{c_i\}_i^n \subset F$이 존재한다는 뜻이다.

만약 이러한 $\{c_i\}_i^n$이 존재하지 않으면, 다시 말해

$$\sum_i^n c_i v_i=0 \qu\Lrh\qu c_i=0 \text{ for every }i$$

을 만족하면, $S$를 일차독립(linearly independent)라고 말한다.

 

Ex. 체 $F=\rr$과 $\rr^3$의 부분집합 $S=\{(1,0),\,(0,1),(1,1)\}$는 일차종속이다. 왜냐하면,

$$1\cd(1,1)-1\cd(1,0)-1\cd(0,1)=(0,0)$$

이므로 $1,-1$은 모두 $0$이 아니기 때문이다. 그러나 $V$의 부분집합 $T=\{(1,0),(0,1)\}$는 일차독립이다. 왜냐하면

$$c_1 (1,0)+c_2(0,1)=(c_1,c_2)=(0,0)\qu \Lrh \qu c_1=c_2=0$$

이기 때문이다.

 

Q. $V$의 부분집합 $S,T \subset V$에 대해,

(1) $S \subset T$이고 $T$가 일차독립이면, $S$도 일차독립임을 보이시오.

(2) $S \subset T$이고 $S$가 일차종속이면, $T$도 일차종속임을 보이시오.

 

다음 보조정리는 앞서 논했던 기저에 대한 정의 (2)가 바로 일차독립을 말하는 것임을 알려 준다.

 

Lem. $S=\{v_i\}_{i=1}^n \subset V$에 대하여, 다음은 동치이다.

(1) $S$는 일차독립이다.

(2) 모든 $1\leq i\leq n$에 대하여, $\sp (S-\{v_i\}) \neq \sp S$이다.

Q. 증명해 보자. 이상의 내용들을 잘 숙지했다면, 어렵지 않게 증명할 수 있다고 볼 수 있다.

 

따라서, 우리는 다음을 정의할 수 있다.

 

Def. 벡터공간 $V$에 대하여, $S=\{v_i\}_{i=1}^n$가

(1) $\sp S=V$

(2) $S$는 일차독립

을 만족할 때, $S$를 $V$의 기저(basis)라고 부른다. 또 $S$의 원소의 개수 $|S|$를 $V$의 차원(dimension)이라고 말한다.

즉 $V$를 만들 때 필요한 최소한의 집합을 기저, 이 때 필요한 원소의 개수를 차원이라고 말한다. $V$의 차원을 $\dim V$라고 쓴다.

 

Rmk. 우리는 기저를 '벡터공간을 만들어 주는 최소한의 재료' 정도로 생각할 수 있다. 예를 들어, $\rr^2$는 $e_1=(1,0)$, $e_2=(0,1)$을 잘 선형결합하여 만들 수 있고, 그들 중 하나라도 없으면 만들 수 없다. 벡터공간이 하나의 텐트라면, 기저는 길이를 잘 조절하여 텐트를 만들 수 있는 뼈대 같은 것이다. 뼈대 전체가 텐트를 만들고, 뼈대 중 하나라도 없으면 텐트는 불안정해지거나 무너질 것이다.

 

Rmk. 정의에 의해 $V$의 차원은 기저에 의존하며, 지금으로써는 기저에 상관없이 잘 정의할 수 있는지 모른다(이런 생각을 했다면 굉장히 훌륭하다.). 다시 말해, 기저를 다르게 잡으면 차원도 변할 수 있지 않겠냐는 말이다. 우리는 차차 차원은 기저에 의존하지 않는다는 것을 배울 것이다.

 

Ex. $\rr^n$에 대하여, $e_1=(1,0,\ld,0)$, $e_2=(0,1,0,\ld,0)$,$\ld$,$e_n=(0,\ld,0,1)$일 때, $\{e_i\}_i^n$는 $\rr^n$의 기저가 된다. 이 때 $\{e_i\}_i^n$를 $\rr^n$의 표준기저(standard basis)라고 한다. 차원은 $n$이 된다.

 

Ex. $\pp_n[x]= \{p \in \pp[x]\,|\, \deg p\leq n\}$으로 정의하면, $\{1,x,x^2,x^3\ld,x^n\}$은 $\pp_n[x]$의 기저가 되며, 차원은 $n+1$이다.

 

다음 게시물에서는 기저와 차원에 대한 더 많은 예시들과 성질들을 알아보도록 하겠다. 

 

Reference.

 

1. Friedberg, Stephen H., Arnold J. Insel, and Lawrence E. Spence. Linear algebra. Pearson Higher Ed, 2003.

2. 이인석, 학부 대수학 강의 1: 선형대수와 군, 서울대학교출판문화원.