5. 연속함수에 대하여

Notation. 거리공간 $(X,d)$에 대하여, 중심이 $x$이고 반지름이 $r$인 열린 공(open ball)을

$$B_r (x)=\{y \in X\,|\, d(x,y)<r \} $$

으로 쓴다. 물론 $B_r(x)$는 열린집합이다.

 

학부 해석학에서는 거리공간 $(X,d_X)$, $(Y, d_Y)$에 대하여, 만약 $x \in X$와 $\ve>0$에 대하여 $\delta>0$이 존재하여 $f(B_\delta (x)) \subset B_{\ve}(f(x))$를 만족시키면, 함수 $f:X \rh Y$가 $x$에서 연속(continuous)이라고 말한다. 즉, $x$의 충분히 작은 열린 공을 $f(x)$의 열린 공에 집어넣을 수 있으면 $f$를 $x$에서 연속이라고 말한다. 또 $f$가 모든 $x \in X$에서 연속이면, $f$를 연속함수(continuous function)라고 말한다. 우리는 거리공간에서 정의한 연속함수를 일반적인 위상공간으로까지 확장하고자 한다. 이 때 우리는 개념들이 functoriality를 갖기를 원한다. 다시 말하자면, 위상공간에서 정의한 연속함수의 정의를 거리공간에 국한시켰을 때 원래 있던 연속함수의 정의와 일치하기를 원한다. 이를 위해 다음의 보조정리가 필요하다.

 

Lem. 거리공간 $(X,d_X)$, $(Y, d_Y)$와 $f:X \rh Y$에 대하여, 다음은 동치이다.

(1) $f$가 연속이다.

(2) 모든 $Y$의 열린 집합 $V \subset Y$에 대하여, $f\inv (V)$는 $X$에서 열린집합이다.

 

Pf. (1) $\Rh$ (2). (1)을 가정하고 $f\inv (\{y\})=\{x_i\}$이며, $y \in V$이고 $V$가 열린집합이라고 가정하자. 따라서 $B_\ve (y) \subset V$인 $\ve>0$이 존재한다. 그러면 임의의 $x_i \in X$에 대하여, (1)에 의해 임의의 $\delta>0$이 존재하여 $f(B_\delta(x)) \subset B_\ve(y)$이다. 그러므로 $B_\delta (x) \subset f \inv (B_\ve(y)) \subset f\inv (V)$이다. 이 사실이 임의의 $x_i \in f\inv(V)$에서 성립하므로, $f\inv (V)$는 열린집합이다.

(2) $\Rh$ (1). (2)를 가정하고 $y=f(x)$라 하자. 그렇다면 임의의 $\ve>0$에 대해 $B_\ve(y)$는 열린집합이므로, (2)에 의해 $f \inv (B_\ve(y))$는 $x$를 포함하는 열린집합이다. 따라서 $\delta>0$이 존재하여 $B_\delta (x) \subset f\inv (B_\ve(y))$이므로, $f(B_\delta (x)) \subset B_{\ve}(f(x))$이다. 모든 $x \in X$에 대해 이 사실이 성립하므로, $f$는 연속함수이다. ∎

 

따라서 우리는 자연스럽게 두 위상공간 $(X,\tt_X),\,(Y,\tt_Y)$ 사이의 연속함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

Def. 두 위상공간 $(X,\tt_X),\,(Y,\tt_Y)$ 사이의 함수 $f:X \rh Y$가 모든 $Y$의 열린집합 $V$에 대해, $f\inv (V)$이 $X$에서 열린집합이면, $f$를 연속(continuous)이라고 말한다.

 

즉 모든 열린 집합의 역상(inverse image; or preimage)가 열린집합인 함수를 연속함수라고 말한다.

 

Rmk. $f:X \rh Y$가 모든 $X$의 열린집합 $U$에 대해 $f(U)$가 $Y$에서 열린집합임을 만족한다고 해서, $f$가 연속일 이유는 없다.(연속함수는 열린집합의 역상이 열린집합이 되게 하는 함수이다.) 위와 같이 열린집합의 상(image)가 열린집합인 함수를 열린사상(open map)이라고 한다. 

 

위에서 보았던 보조정리에 의하면, 다음 따름정리를 얻는다.

 

Cor. 거리공간 $(X,d_X)$, $(Y, d_Y)$에 대해, $f:X \rh Y$가 거리공간 상에서 연속인 것과 위상공간 상에서 연속인 것은 동치이다. 즉 거리공간 사이의 연속함수의 정의가 잘 정의된다.

 

Thm. 두 위상공간 $(X,\tt_X),\,(Y,\tt_Y)$ 사이의 함수 $f:X \rh Y$에 대하여, 다음은 동치이다.

(1) $f$는 연속이다.

(2) 모든 $Y$의 닫힌집합 $B$에 대해 $f\inv(B)$는 $X$에서 닫힌집합이다.

(3) $A \subset X$에 대하여, $f(\bar{A}) \subset \overline{f(A)}$이다.

Q. 증명해 보자. (1) $\Lrh$ (2)는 등식 $f\inv (Y-V)=f\inv (Y)- f\inv(V)$임을 이용하면 된다. (2) $\Lrh$ (3)은 $\overline{f\inv (B)}=f\inv (B)$를 보여 보자.

Q. 위상공간 $X,Y,Z$에 대해 다음을 증명하시오.

(1) $f:X \rh Y$, $g:Y \rh Z$가 연속이면, $g\ci f:X \rh Z$도 연속이다.

(2) $f:X \rh Y$가 연속이고 $f$가 전단사(bijective)이다. $\Lrh$ $f\inv:Y \rh X$가 존재하고 열린사상(open map)이다.

 

어떤 분야(카테고리)에서 두 집합(또는 오브젝트)가 동형(isomorphic)이라는 것은, 두 집합이 그 분야에서는 완전히 똑같게 할 수 있다는 것을 의미한다.(카테고리 이론의 언어 대신 빙빙 돌려 얘기하느라 감이 오지 않을 것이다.) 예를 들어 보자.

 

두 집합 $A,B$가 집합으로써 동형(set-isomorphic)이라는 것은, 함수 $f:A \rh B$가 전단사(bijection)이라는 뜻이다. 즉 $f\inv$가 존재한다는, 다시 말해 $A$와 $B$의 원소 사이에 일대일 대응이 존재한다는 뜻이다.

 

두 벡터공간 $V,W$가 벡터공간 동형(vector space isomorphic)이라는 것은, 선형사상 $L:V \rh W$와 역사상 $L\inv:W \rh V$가 존재하여 $L,L\inv$ 모두 선형 사상(linear map)이라는 뜻이다. 즉 벡터 공간으로써 두 집합은 같음직(?) 하다고 볼 수 있는 것이다.

 

두 군 $G,H$가 군동형(group isomorphic)이라는 것은, 군 동형사상 $f:G \rh H$가 존재한다는, 다시 말해 $f$와 $f\inv:H \rh G$ 모두 군 준동형사상(group homomorphism)이라는 뜻이다. 대수학에서는 동형인 두 군을 같다고 남용한다(?)

 

위상수학에서는 어떤 공간을 위상, 그의 열린집합들만을 이용하여 구분한다. 따라서 $(X,\tt_X)$, $(Y,\tt_Y)$가 위상수학적으로 동형이라는 것은, 물론 $f:X \rh Y$가 $\tt_X$와 $\tt_Y$ 사이에도 일대일 대응을 준다는, 다시 말해 서로의 열린집합 사이에 일대일 대응을 준다는 뜻일 것이다. 이를 위상수학의 언어로 말하면, $f$와 $f\inv$ 모두 연속함수인, 즉 $f$와 $f\inv$ 모두 열린집합을 열린집합으로 보낸다는 말이 된다. 이를 우리는 위상동형(homeomorphism)이라고 말할 것이다.

 

Def. 두 위상공간 $(X,\tt_X)$, $(Y,\tt_Y)$가 위상동형(homeomorphic)이라는 것은, 전단사 함수 $f:X \rh Y$가 존재하여 $f\inv:Y \rh X$와 $f$ 모두 연속함수라는 뜻이다. 이 때 $f$를 위상동형 사상(homeomorphism)이라고 한다.

 

Ex. $f:\rr \rh \rr$, $f(x)=x^3$, $(\rr,\tt_{std}) \xrightarrow{f} (\rr,\tt_{std})$이 위상동형사상임을 보이자. 즉 위상이 정의역과 공역 모두$\rr$의 보통위상(standard topology)로 주어져 있다는, 다시 말해 거리공간상의 위상으로 주어져 있다는 말이다.

$f$는 전단사이고 $f\inv(x)=x^{1/3}$이다. $\rr$의 모든 열린집합은 열린 구간의 가산합집합, 즉 $\cup_i (a_i,b_i)$로 나타내어진다. 그렇다면 $f\inv (\cup_i (a_i,b_i))=\cup_i (a_i^{1/3},b_i^{1/3})$도 열린 구간의 가산합집합으로 열린집합이다. 따라서 $f$는 연속이다. 또 $f(\cup_i (a_i,b_i))=\cup_i (a_i^{3},b_i^{3})$도 열린 구간의 가산합집합이므로 열린집합이다. 따라서 $f\inv$도 연속함수이므로 $f$는 위상동형 사상이다.

Q. 정의역이 $(\rr,\tt_l)$(반닫힌위상; 2. 위상공간의 예 참조)이면 $f$는 연속함수인가? 위상동형 사상인가?

 

Reference.

 

1. Munkres, James R. Topology. Vol. 2. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2000.

2. Bramwell, M. C. "Topology: an introduction to the point-set and algebraic areas, by Donald W. Kahn. Pp viii, 211. $12· 75. 1975.